Vektorgeometrie Hilfe

**AndreasCH** · 01.06.2006, 17:05

Abend,

wer ist den Fit in Vektorgeometire und kann mir/bzw. meiner Frau etwas helfen?

Nächste Woche ist Maturaprüfung und es gibt noch Fragen.

Andreas

**knut** · 01.06.2006, 18:00

Dnn stell doch mal die Fragen rein und warte, was sich tut...

**AndreasCH** · 01.06.2006, 18:24

s=[0,0,-1] ist die Spitze eines Kegels, dessen Achse parallel zur Geraden G: x=y, y=z verläuft; Die z-Achse ist die Mittelmantellinie des Kegels. Gesucht ist die Schnittkurve des Kegels mit der Grungrissebene.

**jbe** · 01.06.2006, 19:50

du liebe güte, ist das lang her.....

und geo hab ich eh gehasst, aber das klingt jetzt nicht unlösbar

hast du das ding mal gezeichnet? oder fehlts da schon?

edit:
sind alle angaben verstanden?

**AndreasCH** · 01.06.2006, 20:17

Habe es mal aufskizziert. Und jetzt enttäuscht mich nicht, Jungs, sonst darf ich am WE nicht nach Engelberg

Andreas

**jbe** · 01.06.2006, 20:42

leider kann ich das gradnicht wirklich erklären, aber in deiner zeichnung stimmt irgendwas nicht.
meine ideen:
x,y,z spannen einen raum, die 3 achsen stehen in rechtem winkel zu einander und schneiden sich in dem punkt 0,0,0
laut angabe liegt die spitze s des kegels auf 0,0,-1
die achse (= gerade durch punkt s und den mittelpunkt des fusskreises des kegels) ist parallel zu G.
auffällig ist die lage von G zur mantellinie
so lässt dich der kegel doch schon zeichnen, oder?

und da kannst die schnittpunkte mit der grundebene (fläche zwischen x und y achse) ja schon ablesen

dann gibts sicher auch noch ne viel coolere version, bei der du einfach mit der winkelfunktion zwischen achse und mantelline in abhängikeit der posiotion des punkts für die spitze des kegels die schnittpunkte mit den achsen ausrechnen kannst

aber da hab ich grad gar kein plan.....

jetzt hab ich dir voll nicht geholfen, oder?

sollte vielleicht doch mal wieder in ein mathe buch schauen (aber wozu, ich hab mein abi schon ;-) )

**AndreasCH** · 01.06.2006, 20:46

Habe das mal so gedacht:

x=y=z=1 also habe ich von der Spitze 0,0,-1 eine Achse. Mantelinie ist eine Linie eines Rotationskörpers von der Spitze zum Radius. Diese liegt auf der z-Achse. Dann habe ich nur noch den Kegel auf xy geschnitten. Das ist meien Zeichnung. Kann einer meiner Frau sagen, wie man das rechnet?

**muh** · 01.06.2006, 20:53

also ich kenn irgendwie nur den begriff mantellinie
aber von mittelmatellinie hab ich noch nie was gehört

**AndreasCH** · 01.06.2006, 20:55

Mittelmantel habe ich im Google auch nicht gefunden, also habe ich mir die Def. vom Mantel angeschaut

**jbe** · 01.06.2006, 21:23

deine zeichnung ist ja voll verwirrend (oder ich kann den zusammenhang nicht sehen)

aber alle deine linien schneiden sich in punkt s, das kann aber nicht sein, oder?

zeichne doch mal deine drei achsen, dort hinein den punkt s und den mantel entlang der z-achse
durch den vorgegebenen winkel der achse des kegels ( = II G) ist doch die ausrichtung in deinem system bekannt

mittels der kreisberechnung kannst du doch jederzeit den mittelpunkt des (unendlichen) kegels in abhängigkeit von z angeben

da x,y und z zu einander senkrecht stehen, sollte sich bei der berechnung noch ne vereinfachung ergeben, oder? (sin=1 oder so)

aber ich hab mit dem ganzen zeug echt ewig nix mehr zu tun und leider meine bücher nem kumpel geliehen, deswegen kann ich nicht schnell nachsehen

***chris*** · 02.06.2006, 10:13

hmm, also hier gehts jetzt um rechnen nicht um konstruieren, also mathe nicht geometrie, richtig?

so wie ich das seh, haben wir die achse die von 0,0,-1 im 45° winkel nach oben geht (45° natürlich zu allen ebenen). und den kegel kriegen wir indem wir die z-achse um diese 45° achse rotieren lassen.
und dann wird das ganze mit der xy-ebene geschnitten und raus kommt, entweder ein ellipse, hyperbel oder parabel. kleine skizze, ellipse kanns schon mal nicht sein. also hyperbel oder parabel, wobei das ja eigentlich egal ist. parabel ist ja nur ein grenzfall einer hyperbel...

ich hab natürlich keine ahnung mehr wie man das sinnvoll angeht, alles zu lange her. mal eine idee:
formel der hyperbel: x²/a² - y²/b² = 1
also paar punkte der hyperbel ausrechnen, in die formel einsetzen und fertig.
nur, wie rechne ich paar punkte aus. also, ich weiss ja, 1) liegt die z-achse auf dem mantel des kegels, also alle punkte (0,0,z) sind punkte des mantels. 2) schneide ich den kegel normal zur kegelachse ists ein kreis. und 2x schneidet dieser kreis die xy-ebene und das sind ja genau die punkte die wir suchen.

also, ich nehm einen beliebigen punkt (0,0,beliebig) auf der z-achse, dieser liegt auch auf dem mantel des kegels. durch diesen punkt schneiden wir den kegel normal zur kegelachse, wir kriegen einen kreis für den gilt (x')^2 + (y')^2 = R^2
dieser kreis liegt halt in einer blöden ebene (x'y'), normal auf unsere kegelachse. also transformieren wir uns in diese ebene -> drehmatrix. drehmatrix D durch zwei 45° drehungen und einer verschiebung um 1 (in die spitze).
jetzt den mantelpunkt und die uv-ebene transformieren:
D * (0,0,beliebig) = (v1,v2,v3)
D * (u,v,0) = (f1(u,v),f2(u,v),f3(u,v))
gehen wir davon aus dass so gedreht wurde (drehmatrix) dass z' in richtung der kegelachse geht. dann gilt v3 = f3(u,v) =>
v=f(u)
ausserdem: v1^2 + v2^2 = R^2 => R
einsetzen in f1(u,f(u))^2 + f2(u,f(u))^2 = R^2
und daraus berechnen wir u und v und haben einen punkt gefunden der auf der mantelfläche des kegels und in der xy-ebene.
das ganze ein paarmal und die schnittkurve wird punktweise berechnet... oder einfach in die hyperbelgleichung einsetzen und die werte a und b berechnen.... fertig....

klingt wahrscheinlich recht kompliziert, ists aber nicht... aber vermutlich gibts auch einen einfacherern weg

und lasst meinen chef nicht sehen mit was ich mich so in meiner arbeitszeit beschäftige...

**AndreasCH** · 02.06.2006, 10:16

Ich verstehe davon sowiso nix, haber meiner Frau Bescheid gegeben, das es eine neue Antwort gibt. Erstmal vielen Dank an alle, die sich hier den Kopf zerbrechen.